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Primes: many corrections

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1<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">
2<html>
3        <head>
4                <title></title>
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8                        font-family:Arial,Verdana,Georgia;
9                        font-size:smaller;
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14        <table>
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16          <td width="100%"><h2>Welcome to the World of Primes</h2></td>
17          <td nowrap>  <a href="javascript:window.print()">Die Startseite ausdrucken.</a></td>
18        </tr>
19        </table>
20 
21 <p align="justify">
22  Diese Anwendung gibt einen Überblick über die Eigenschaften und Methoden der Primzahlen.<br />
23  Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl >= 2, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist.
24  Primzahlen sind also eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und dadurch etwas sehr Besonderes, dass sich jede andere natürliche
25  Zahl eindeutig als ein Produkt von Primzahlen darstellen lässt.<br />
26  Viele Mathematiker haben sich über Jahrhunderte mit Primzahlen und deren Eigenschaften beschäftigt und doch sind
27  längst nicht alle Fragen zu diesen elementaren Bausteinen der natürlichen Zahlen beantwortet.
28  Eine besondere Rolle spielen die Primzahlen insbesondere in der Kryptographie.
29  Wenn Sie eine Bestellung in einem Onlineshop tätigen oder über Homebanking eine Überweisung abschicken, dann verhindert ein
30  Paar von zwei sehr großen Primzahlen, dass Andere Ihre Konto- oder Kreditkartennummer mitlesen können.<br /><br />
31  Diese Anwendung gliedert sich in fünf Gruppen, die Sie links im Navigationsbaum aufrufen können. Außerdem nutzt diese Anwendung die Möglichkeiten von Vektorgrafiken,
32  so dass Sie grafische Darstellungen frei zoomen können.<br /><br />
33 
34  <hr /><br />
35  Unter der Gruppierung <strong>Faktorisierung</strong> finden Sie Funktionen, um die Primfaktoren
36  einer natürlichen Zahl zu berechnen. Der 1. Hauptsatz der Zahlentheorie (von Gauß) besagt, dass jede
37  natürliche Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen beschrieben werden kann. So kann z.B. die Zahl 6 geschrieben werden als 6 = 2 * 3 oder 3 * 2. <br />
38  Die beiden Primzahlen 2 und 3 sind also die Bausteine der Zahl 6 (bezüglich der Multiplikation). Diese Schreibweise ist eindeutig, was bedeutet,
39  dass es keine andere Möglichkeit gibt, 6 als Produkt von Primzahlen aufzuschreiben. Das Ergebnis einer Faktorisierung heißt "Primfaktorzerlegung".
40<br /> 
41  <br />
42  <ul>
43  <li>
44  Die erste Funktion ist die <a href="exec://Factor_Bf">Probedivision</a>. Dies ist die einfachste aber auch die
45  ineffizienteste Methode, die Primfaktorzerlegung zu einer Zahl zu finden – sofern die Zahlen etwas größer werden.
46  Die Primfaktoren einer Zahl werden hierbei durch Ausprobieren gesucht und in einem Faktorbaum dargestellt. <br /><br />
47</li>
48<li>
49
50  Das <a href="exec://Factor_QS">quadratische Sieb</a> ist eines der schnellsten Verfahren zur Faktorisierung einer Zahl.
51  Hier werden mathematische Erkenntnisse eingesetzt, die auf den französischen Mathematiker
52  Pierre de Fermat zurück gehen. Das Verfahren ist relativ aufwändig und zum Verständnis benötigt
53  man eine gewisse Einarbeitungszeit. In der Hilfe zum quadratischen Sieb ist darum ein Beispiel aufgeführt.<br /><br />
54</li>
55</ul>
56
57  <hr /><br />
58 
59  Unter <strong>Primzahltest</strong> finden sich zwei Verfahren, mit denen überprüft werde kann, ob
60  eine natürliche Zahl eine Primzahl ist. Beim Kryptosystem RSA werden heutzutage zwei
61  Primzahlen mit über 150 Dezimalstellen benötigt, und um diese zu finden (und zwar möglich immer wieder andere),
62  werden Primzahltests eingesetzt.   
63  <ul>
64  <li> 
65  <a href="exec://Primetest_Sieve">Das Sieb des Eratosthenes</a> wurde von dem Griechen etwa 200 Jahre v. Chr. erfunden.
66  Es ist ein sehr einfaches Verfahren, mit dem nicht nur geprüft werden kann, ob eine Zahl eine Primzahl ist, sondern das
67  gleichzeitig eine Liste mit Primzahlen generiert.<br /><br />
68  </li>
69  <li>
70  Der <a href="exec://Primetest_Miller">Miller/Rabin-Test</a> ist ein heute sehr häufig eingesetzter Primzahltest. Auch er geht auf die Mathematik  von
71  Pierre de Fermat zurück. Das besondere am Miller/Rabin-Test ist, dass sich das Verfahren in seltenen Fällen irren kann und eine Zahl
72  als Primzahl ausgibt, obwohl sie keine Primzahl ist.<br />
73  </li>
74  </ul>
75 
76  <hr /><br />
77 
78 Unter <a href="exec://Primesgeneration">Generierung von Primzahlen</a> können Sie mit quadratischen Formeln experimentieren.
79 Einige quadratische Formeln generieren mehr Primzahlen, andere weniger.
80 Aber keine quadratische Formel generiert für alle natürlichen Werte von x nur
81 Primzahlen als Funktionswert. Die berühmte Formel  –  x<sup>2</sup> + x + 41  –   stammt von Leonhard Euler und
82 hat für die Eingabe von x = 0 ... 39 ausschließlich Primzahlen als Ergebnis. 
83  <br /><br />
84  <hr /><br />
85 
86  Unter <a href="exec://Graph">Anzahl der Primzahlen</a> werden die Funktionsgraphen dreier Funktionen gezeichnet, die jeweils die Anzahl der Primzahlen
87  bis zu einer gegebenen natürlichen Zahl ermitteln. Zwei der Funktionen, die von Carl Friedrich Gauß entdeckt wurden,
88  sind Abschätzungen. Sie berechnen die Anzahl also nicht exakt, „raten“ den Wert aber schon sehr genau.
89  Die dritte Funktion zählt die Primzahlen genau ab. Der zugehörige Funktionsgraph sieht aus wie eine Treppe,
90  darum wird die Funktion auch als "Treppenfunktion" bezeichnet. Die Treppenfunktion ist zeitaufwändig in der Berechnung. 
91
92  <br /><br />
93  <hr /><br />
94  In der Funktionsgruppe <strong>Verteilung</strong> werden einige grafische Darstellungen zur Verteilung der Primzahlen in den natürlichen Zahlen gezeigt.
95  <br />Es stehen drei Funktionen zur Verfügung.
96  <ul>
97 
98  <li>
99 
100    <a href="exec://PrimeDistrib_Numberline">Auf der Zahlgeraden</a> werden die natürlichen Zahlen als Punkte dargestellt. Jede Primzahl ist ein blauer Punkt, alle anderen Zahlen
101    sind schwarze Punkte. Fährt man mit der Maus über eine Zahl, werden verschiedene Eigenschaften angezeigt und
102    verschiedene, in der Zahlentheorie wichtige Funktionen berechnet. 
103    <br /><br />
104  </li>
105  <li>
106 
107    <a href="exec://PrimeDistrib_Numberrec">Im Zahlengitter</a> werden die natürlichen Zahlen in einem Gitter dargestellt. Jede Primzahl ist als rotes Quadrat dargestellt.
108    Die Anzahl der Zeilen und Spalten des Zahlengitters können mit der Maus verändert werden (bis zu einer Maximalbreite von 100 Zahlen),
109    so dass sich verschiedene Muster ergeben. Auch hier wird immer angezeigt, welche Zahl zu der Stelle im Gitter gehört,
110    wo sich die Maus gerade befindet. 
111    <br /><br />
112  </li>
113  <li>
114 
115    Der Mathematiker Stanisław Ulam trug während eines Vortrages aus Langeweile die natürlichen Zahlen beginnend bei 1 in
116    Form einer Spirale auf ein kariertes Blatt ein und kreiste alle Primzahlen ein. Das überraschende Ergebnis ist,
117    dass sich sehr viele Primzahlen auf diagonalen Geraden in dieser Spirale befinden. Diese Spirale ist eine der berühmtesten Darstellungen
118    für die Verteilung der Primzahlen. Sie wird – nach ihrem Entdecker – <a href="exec://PrimeDistrib_Ulam">Ulam-Spriale</a> genannt.   
119
120    <br /><br />
121  </li> 
122  </ul>
123  <br /><br />
124  <hr /><br />
125 
126  <a href="exec://PrimitivRoot">Primitivwurzeln</a> spielen in der Kryptographie eine wichtige Rolle. Wenn zwei Kommunikationspartner vertraulich Informationen
127  austauschen möchten und dazu mit einem symmetrischen Verfahren verschlüsseln wollen, müssen beide einen so
128  genannten "Sessionkey" aushandeln, den sonst niemand kennen darf. Wird dieser Schlüssel über einen
129  öffentlichen Kanal ausgetauscht, dann muss sichergestellt sein, dass kein Dritter Kenntnis über diesen
130  Schlüssel erlangt. Um dies zu gewährleisten, wenden die Kommunikationspartner das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Diffie-Hellman-Schl%C3%BCsselaustausch" target="_blank">Diffie-Hellman-Verfahren</a> an, das
131  die Eigenschaften von Primitivwurzeln nutzt.
132        </p>
133        </body>
134</html>
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.